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(2012•潍坊)如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A(-2,0),B(2,0),C(0,-1)三点,过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D(0,-2)作平行于x轴的直线l1、l2.(1
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C(0,-1)三点,过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D(0,-2)作平行于x轴的直线l1、l2.
(1)求抛物线对应二次函数的解析式;
(2)求证以ON为直径的圆与直线l1相切;
(3)求线段MN的长(用k表示),并证明M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,
由函数经过A(-2,0),B(2,0),C(0,-1)三点可得:
,
解得
所以y=
x2-1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),因为点M、N在抛物线上,

所以 y1=
-1,y2=
-1,所以
=4(y2+1);
又ON2=x22+y22=4(y2+1)+y22=(y2+2)2,所以ON=|2+y2|,又因为y2为正,所以ON=2+y2,
设ON的中点E,分别过点N、E向直线l、作垂线,垂足为P、F,
则EF=
=
=1+
,
所以ON=2EF
即ON的中点到直线l1的距离等于ON长度的一半,
所以以ON为直径的圆与l1相切.
(3)过点M作MH丄NP交NP于点H,则MN2=MH2+NH2=(x2-x1)2+(y2-y1)2,
又y1=kx1,y2=kx2,所以(y2-y1)2=k2(x2-x1)2
所以MN2=(1+k2)(x2-x1)2;
又因为点M,N在y=kx的图象上又在抛物线上,
所以kx=
由函数经过A(-2,0),B(2,0),C(0,-1)三点可得:
|
解得
|
所以y=
1 |
4 |
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),因为点M、N在抛物线上,

所以 y1=
1 |
4 |
x | 2 1 |
1 |
4 |
x | 2 2 |
x | 2 2 |
又ON2=x22+y22=4(y2+1)+y22=(y2+2)2,所以ON=|2+y2|,又因为y2为正,所以ON=2+y2,
设ON的中点E,分别过点N、E向直线l、作垂线,垂足为P、F,
则EF=
OC+NP |
2 |
2+y2 |
2 |
y2 |
2 |
所以ON=2EF
即ON的中点到直线l1的距离等于ON长度的一半,
所以以ON为直径的圆与l1相切.
(3)过点M作MH丄NP交NP于点H,则MN2=MH2+NH2=(x2-x1)2+(y2-y1)2,
又y1=kx1,y2=kx2,所以(y2-y1)2=k2(x2-x1)2
所以MN2=(1+k2)(x2-x1)2;
又因为点M,N在y=kx的图象上又在抛物线上,
所以kx=
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