（2012•潍坊）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A（-2，0），B（2，0），C（0，-1）三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D（0，-2）作平行于x轴的直线l1、l2．（1

Question

（2012•潍坊）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A（-2，0），B（2，0），
C（0，-1）三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D（0，-2）作平行于x轴的直线l₁、l₂．
（1）求抛物线对应二次函数的解析式；
（2）求证以ON为直径的圆与直线l₁相切；
（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线l₂的距离之和等于线段MN的长．

Answer 1

（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
由函数经过A（-2，0），B（2，0），C（0，-1）三点可得：

0＝4a−2b+c

0＝4a+2b+c

−1＝c

，
解得

a＝(1)/(4)

b＝0

c＝−1

所以y=(1)/(4)x²-1．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），因为点M、N在抛物线上，

所以 y₁=(1)/(4)

x

2 1

-1，y₂=(1)/(4)

x

2 2

-1，所以

x

2 2

=4（y₂+1）；
又ON²=x₂²+y₂²=4（y₂+1）+y₂²=（y₂+2）²，所以ON=|2+y₂|，又因为y₂为正，所以ON=2+y₂，
设ON的中点E，分别过点N、E向直线l、作垂线，垂足为P、F，
则EF=(OC+NP)/(2)＝(2+y2)/(2)=1+(y2)/(2)，
所以ON=2EF
即ON的中点到直线l₁的距离等于ON长度的一半，
所以以ON为直径的圆与l₁相切．
（3）过点M作MH丄NP交NP于点H，则MN²=MH²+NH²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²，
又y₁=kx₁，y₂=kx₂，所以（y₂-y₁）²=k²（x₂-x₁）²
所以MN²=（1+k²）（x₂-x₁）²；
又因为点M，N在y=kx的图象上又在抛物线上，
所以kx=