已知椭圆a^2/y^2+b^2/x^2=1的离心率为根号2/2,焦点F1(0,-c)F2(0,c)过F1的直线交椭圆于M,N,△F2MN的周长为4（1）求椭圆的方程（2）与y轴不重合的直线l与y轴交于P（0,m）m≠0,与椭圆交于相异两点AB,且向

Question

已知椭圆a^2/y^2+b^2/x^2=1的离心率为根号2/2,焦点F1(0,-c)F2(0,c)过F1的直线交椭圆于M,N,△F2MN的周长为4
（1）求椭圆的方程
（2）与y轴不重合的直线l与y轴交于P（0,m）m≠0,与椭圆交于相异两点AB,且向量AP=aPB,若向量OA+aOB=4OP 求m的取值范围

Answer 1

已知椭圆y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√2/2,焦点F1(0,-c),F2(0,c).过F1的直线交椭圆于M,N,△F2MN的周长为4
（1）求椭圆的方程
（2）与y轴不重合的直线l与y轴交于P（0,m）,m≠0,与椭圆交于相异两点A、B,且向量AP=aPB,若向量OA+aOB=4OP 求m的取值范围.（改题了).
(1)△F2MN的周长4a=4,a=1.
c/a=√2/2,c=√2/2,b^2=a^2-c^2=1/2.
椭圆方程是y^2+2x^2=1.①
(2)设l:y=kx+m,②
代入①,k^2x^2+2kmx+m^2+2x^2=1,
整理得(k^2+2)x^2+2kmx+m^2-1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2km/(k^2+2),
由向量AP=PB得x1+x2=2xP=0,m≠0,所以k=0,
由向量OA+OB=4OP得y1+y2=4m,
由②,y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m,
所以2m=4m,m=0,矛盾,m的取值范围是空集.