已知椭圆C：x2a2+y2＝1(a＞1)的右焦点为F（c，0）（c＞1），点P在圆O：x2+y2=1上任意一点（点P第一象限内），过点P作圆O的切线交椭圆C于两点Q、R．（1）证明：|PQ|+|FQ|=a；（2）若椭圆离心率为32

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+y2＝1(a＞1)的右焦点为F（c，0）（c＞1），点P在圆O：x²+y²=1上任意一点（点P第一象限内），过点P作圆O的切线交椭圆C于两点Q、R．
（1）证明：|PQ|+|FQ|=a；
（2）若椭圆离心率为(√(3))/(2)，求线段QR长度的最大值．

Answer 1

（1）证明：设Q（x₁，y₁）（x₁＞0），得|FQ|=a-ex₁，…（3分）
∵PQ是圆x²+y²=1的切线，∴|PQ|＝√(|OQ|2−|OP|2)＝√(x21+y21−1)，
∵(x12)/(a2)+y12＝1，∴|PQ|＝√(x21+(1−(x21)/(a2))−1)＝√((1−(1)/(a2))x21)＝ex1，…（6分）
所以|PQ|+|FQ|=a．                                  …（7分）
（2）由题意，e＝(√(a2−1))/(a)＝(√(3))/(2)，∴a=2．                …（9分）
方法一：设直线QR的方程为y=kx+m，∵点P在第一象限，∴k＜0，m＞0．
由直线QR与圆O相切，∴(|m|)/(√(k2+1))＝1，∴m²=k²+1．        …（11分）
由

y＝kx+m

(x2)/(4)+y2＝1

，消y得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
设R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2＝−(8km)/(1+4k2)．
由（1）知，|QR|＝e(x1+x2)＝(√(3))/(2)(−(8km)/(1+4k2))＝4√(3)•(|k|m)/(1+4k2)＝4√(3)•(|k|m)/(m2+3k2)，…（14分）
∵m2+3k2≥2√(3)m|k|，∴|QR|≤4√(3)•(1)/(2√(3))＝2．
当且仅当m＝−√(3)k时，|QR|取最大值2，此时直线QR的方程为y＝k(x−√(3))，过焦点F．…（16分）
方法二：设P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），则直线QR的方程为x₀x+y₀y=1．             …（11分）
由

x0x+y0y＝1

x2+4y2＝4

，消y得(

y

2 0

+4

x

2 0

)x2−8x0x+4−4

y

2 0

＝0，则x1+x2＝(8x0)/(y20+4x20)，
∵

x

2 0

+

y

2 0

＝1，∴x1+x2＝(8x0)/(1+3x20)，
由（1）知，|QR|＝e(x1+x2)＝(√(3))/(2)•(8x0)/(1+3x20)＝4√(3)•(x0)/(1+3x20)＝4√(3)•(1)/((1)/(x0)+3x0)，…（14分）
∵(1)/(x0)+3x0≥2√(3)，∴|QR|≤4√(3)•(1)/(2√(3))＝2，
当且仅当x0＝(√(3))/(3)时，|QR|取最大值2，此时P((√(3))/(3)，(√(6))/(3))，直线QR过焦点F．  …（16分）