已知双曲线C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），且离心率为2；（Ⅰ）求双曲线的标准方程；（Ⅱ）若经过点M（1，3）的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．

Question

已知双曲线C的焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0），且离心率为2；
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）若经过点M（1，3）的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）设双曲线方程为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0），且c=2，
由于离心率为2，即(c)/(a)=2，即a=1，
b=√(c2−a2)=√(3)，
则双曲线方程为x²-(y2)/(3)=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x12−(y12)/(3)=1，x22−(y22)/(3)=1．两式相减得，（x₁-x₂）（x₁+x₂）=(1)/(3)（y₁-y₂）（y₁+y₂），
由于M为AB的中点，则x₁+x₂=2，y₁+y₂=6，
得直线AB的斜率k_AB=(y1−y2)/(x1−x2)=1，
∴直线l的方程为y-3=x-1即y=x+2，代入方程x²-(y2)/(3)=1，
得2x²-4x-7=0，△=4²-4×2×（-7）=72＞0，
故所求的直线方程为y=x+2．