设椭圆C:x2/a2+y2/b2a>b>0的离心率为根号2/2,左焦点为F(-2,0)1、求椭圆的方程2、若直线y=x+m与曲线C交于不同的A、B两点,且线段AB的中点M在圆x^2+y^2=1上,求m的值

Question

设椭圆C:x2/a2+y2/b2【a>b>0的离心率为根号2/2】,左焦点为F(-2,0)
1、求椭圆的方程
2、若直线y=x+m与曲线C交于不同的A、B两点,且线段AB的中点M在圆x^2+y^2=1上,求m的值

Answer 1

1
e=c/a=√2/2
设c=√2k a=2k
∵左焦点为F(-2,0)
∴c=2=√2k
k=√2
a=2√2 b^2=a^2-c^2=8-2=6
∴椭圆的方程 x^2/8+y^2/6=1
2
把y=x+m代入椭圆方程得
x^2/8+(x+m)^2/6=1
3x^2+4(x+m)^2=24
代简得
7x^2+8mx+4m^2-24=0
x1+x2=-8m/7
y1+y2=x1+m+x2+m=-8m/7+2m=6m/7
(x1+x2)/2=-4m/7
(y+1y2)/2=3m/7
∵线段AB的中点M在圆x^2+y^2=1上
代入得
(-4m/7)^2+(3m/7)^2=1
25m^2/49=1
m^2=49/25
m=±7/5