已知f(x)＝2cos(ωx+θ)，(x∈R，0≤θ≤π2)，g（x）=ex-x2+2ax-1，（x∈R，a为实数），y=f（x）的图象与y轴交于点(0，3)，且在该点处切线的斜率为-2．（I）若点A(π2，0)，点P是函数y=f（x）图象上一点

Question

已知f(x)＝2cos(ωx+θ)，(x∈R，0≤θ≤(π)/(2))，g（x）=e^x-x²+2ax-1，（x∈R，a为实数），y=f（x）的图象与y轴交于点(0，√(3))，且在该点处切线的斜率为-2．
（I）若点A((π)/(2)，0)，点P是函数y=f（x）图象上一点，Q（x₀，y₀）是PA的中点，当y0＝(√(3))/(2)，x0∈[(π)/(2)，π]时，求x₀的值；
（II）当a＞1+ln2时，试问：是否存在曲线y=f（x）与y=g（x）的公切线？并证明你的结论．

Answer 1

（I）由题意可知

f′(0)＝−2ωsinθ＝−2

2cosθ＝√(3)

0≤θ≤(π)/(2)

可得：θ＝(π)/(6)，ω＝2
即f(x)＝2cos(2x+(π)/(6))
设P点坐标为(t，2cos(2t+(π)/(6)))，已知A((π)/(2)，0)
所以Q（x₀，y₀）满足

x0＝(t+(π)/(2))/(2)

y0＝cos(2t+(π)/(6))

又由y0＝(√(3))/(2)，x0∈[(π)/(2)，π]得到t=π或