设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+bx，函数f（x）的图象与x轴的交点也在函数g（x）的图象上，且在此点处f（x）与g（x）有公切线．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）设x＞0，试比较f（x）与g（x）的大小．

Question

设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+(b)/(x)，函数f（x）的图象与x轴的交点也在函数g（x）的图象上，且在此点处f（x）与g（x）有公切线．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）设x＞0，试比较f（x）与g（x）的大小．

Answer 1

（I）由题意：f'（x）=(1)/(x)，g'（x）=a-(b)/(x2)，（2分）
∴由题意可得：

a+b=0

a-b=1

⇒

a=(1)/(2)

b=-(1)/(2)

．（5分）
（11）由（I）可知g（x）=(1)/(2)（x-(1)/(x)），令F（x）=f（x）-g（x）=lnx-(1)/(2)（x-(1)/(x)）．．
∵F'（x）=(1)/(x)-(1)/(2)（1+(1)/(x2)）=-(1)/(2)（1+(1)/(x2)-(2)/(x)）=-(1)/(2)(1-(1)/(x))2≤0，（8分）
∴F（x）是（0，+∞）上的减函数，而F（1）=0，（9分）
∴当x∈（0，1）时，F（x）＞0，有f（x）＞g（x）；
当x∈（1，+∞）时，F（x）＜0，有f（x）＜g（x）；
当x=1时，F（x）=0，有f（x）=g（x）．（12分）