用最简单的方法做啊已知函数f(x)是定义在R上的偶函数f(x+1)为奇函数,f(0)=0当x属于（0 1]时,f(x)=log2 x则在(8 10)内满足方程f(x)+1=f(1)的实数x=?

Question

用最简单的方法做啊
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数
f(x+1)为奇函数,f(0)=0
当x属于（0 1]时,f(x)=log2 x
则在(8 10)内满足方程f(x)+1=f(1)的实数x=?

Answer 1

因f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x),即有f(x+1)=f(-x-1)
又f(x+1)为奇函数,则f(x+1)=-f(-x+1)
所以f(-x-1)=-f(-x+1)
用-x-1代上式中的x则有f(x)=-f(x+2)
用x+2代上式中的x则有f(x+2)=-f(x+4)
所以f(x)=f(x+4),易知f(x)是周期为4的周期函数
显然区间（8,10）上的函数对应于区间（0,2）上的函数
因x∈(0,1]时,f(x)=log2(x)
又f(x)为偶函数,则f(x+1)=-f(-x+1)
而-x+1∈(0,1),则有f(-x+1)=log2(-x+1)
又f(x+1)为奇函数,则有f(x+1)=-f(-x+1)=-log2(-x+1)=-log2[-(x+1)+2]
所以当x∈(1,2)时,f(x)=-log2(-x+2)
综上知区间（0,2）上的函数解析式为
x∈(0,1]时,f(x)=log2(x)（注意到f(x)≤0）
x∈(1,2)时,f(x)=-log2(-x+2)（注意到f(x)>0）
易知f(1)=0
则方程f(x)+1=f(1)等价于f(x)=-1,x∈(0,2)
即有log2(x)=-1
即log2(x)=log2(1/2)
所以x=1/2
那么对应到（8,10）内,则方程f(x)+1=f(1)的解为x=8+1/2=17/2