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AB是圆O的直径,C是半圆上一点,CD⊥AB于D,圆N与圆O内切且与AB,CD分别切于E,F.求证AC=AE.求纯几何方法!不要解析几何的!1
题目详情
AB是圆O的直径,C是半圆上一点,CD⊥AB于D,圆N与圆O内切且与AB,CD分别切于E,F.求证AC=AE.求纯几何方法!
不要解析几何的!1
不要解析几何的!1
▼优质解答
答案和解析
证明：连接AF并延长交圆O于M,过点M作圆O的切线MG,连接AB,FN并延长交AB于P,连接NM
所以角GMA=角B
因为圆N与AB,CD分别切于点E,F
所以DF=DE
NF垂直CD于F
所以角DFN=90度
因为CD垂直AB于D
所以角EDF=90度
所以角DFN+角EDF=180度
所以FP平行AB
角B=角FPM
因为AB是圆O的直径
所以角AMB=90度
所以角FMP=90度
因为NM=NP
所以角FPM=角NMP
所以角FMP=角FMN+角FMG=90度
因为NM是圆N的半径
所以MG是圆N的切线
所以AE^2=AF^AM
因为角CDB+角FMB=180度
所以F,D,B,M四点共圆
所以AF*AM=AD*AB
因为角ACB=90度,CD垂直AB
由射影定理得：
AC^2=AD^AB
所以AC^2=AE^2
所以AC=AE
所以角GMA=角B
因为圆N与AB,CD分别切于点E,F
所以DF=DE
NF垂直CD于F
所以角DFN=90度
因为CD垂直AB于D
所以角EDF=90度
所以角DFN+角EDF=180度
所以FP平行AB
角B=角FPM
因为AB是圆O的直径
所以角AMB=90度
所以角FMP=90度
因为NM=NP
所以角FPM=角NMP
所以角FMP=角FMN+角FMG=90度
因为NM是圆N的半径
所以MG是圆N的切线
所以AE^2=AF^AM
因为角CDB+角FMB=180度
所以F,D,B,M四点共圆
所以AF*AM=AD*AB
因为角ACB=90度,CD垂直AB
由射影定理得：
AC^2=AD^AB
所以AC^2=AE^2
所以AC=AE
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