如图，AB为O的直径，C是O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与O的交点，AC平分∠BAE．（1）求证：DE是O的切线；（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．

Question

如图，AB为 O的直径，C是 O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与 O的交点，AC平分∠BAE．

（1）求证：DE是 O的切线；
（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAE，
∴∠OAC=∠CAE，
∴∠OCA=∠CAE，
∴OC∥AE，
∴∠OCD=∠E，
∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，
∴CD是圆O的切线；

（2）在Rt△AED中，
∵∠D=30°，AE=6，
∴AD=2AE=12，
在Rt_△OCD中，∵∠D=30°，
∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，
∴DB=OB=OC=(1)/(3)AD=4，DO=8，
∴CD=√(DO2-OC2)=√(82-42)=4√(3)，
∴S_△OCD=(CD•OC)/(2)=(4√(3)×4)/(2)=8√(3)，
∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴∠DOC=60°，
∴S_扇形OBC=(1)/(6)×π×OC²=(8)/(3)π，
∵S_阴影=S_△COD-S_扇形OBC
∴S_阴影=8√(3)-(8π)/(3)，
∴阴影部分的面积为8√(3)-(8π)/(3)．