已知椭圆C：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于E、F两点．（1）求

Question

已知椭圆C：(y2)/(a2)+(x2)/(b2)=1（a＞b＞0）的离心率为(√(3))/(2)，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+√(2)=0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于E、F两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．

Answer 1

（1）由题意知：e＝(c)/(a)=(√(3))/(2)∴e2＝(c2)/(a2)＝(a2−b2)/(a2)=(3)/(4)，∴a²=4b²．…（2分）
又∵圆x²+y²=b²与直线x−y+√(2)＝0相切，∴b=1，∴a²=4，…（3分）
故所求椭圆C的方程为x2+(y2)/(4)＝1…（4分）
（2）设E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，
将y=kx代入椭圆的方程x2+(y2)/(4)＝1整理得：（k²+4）x²=4，
故x2＝−x1＝(2)/(√(k2+4))．①…（5分）
又点E，F到直线AB的距离分别为h1＝(|2x1+kx1−2|)/(√(5))＝

2(2+k+

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