已知直线x-y-3=0与圆x^2+y^2-2x=0相离,在圆上求一点,使它与直线的距离最短,并求这一点与直线的距离圆心(1,0)到x-y-3=0距离为√2,最短距离为√2-1直线斜率为-1垂线斜率为1垂线方程为x+y-1=0然

Question

已知直线x-y-3=0 与圆x^2+y^2-2x=0相离,在圆上求一点,使它与直线的距离最短,并求这一点与直线的距离
圆心(1,0)到x-y-3=0 距离为√2 ,最短距离为√2 -1 直线斜率为-1 垂线斜率为1 垂线方程为x+y-1=0 然后与圆方程联立 这种方法对吗?

Answer 1

过圆心做垂线
则和圆交点就是所求,最小距离就是圆心到直线距离减去半径
直线斜率是1
所以垂线斜率是-1
(x-1)²+y²=1
圆心(1,0),r=1
所以垂线y=-x+1
代入
x²+x²-2x+1-2x=0
2x²-4x+1=0
x=(2±√2)/2
直线在圆右下方,所以取右边的点
x=(2+√2)/2
y=-x+1=-√2/2
圆心到直线距离=|1-0-3|/√（1²+1²)=√2
所以((2+√2)/2,-√2/2),距离是√2-1