点A1A2使线段AB的三等分点求证(1)向量OA1+向量OA2=向量OA+向量OB(2)一般地如果点A1A2..A(n-1)是AB的nn大于等于3等分点请写出一个结论是（1）为所写结论的一个特例并证明该结论

Question

点A1 A2使线段AB的三等分点 求证(1)向量OA1+向量OA2=向量OA+向量OB (2)一般地 如果点A1 A2..A(n-1)是AB的n
n大于等于3等分点 请写出一个结论 是（1）为所写结论的一个特例 并证明该结论

Answer 1

（1）证明：向量OA1=向量OA+向量AA1
=向量OA+向量AB／3
=向量OA+(向量OB-向量OA)/3
=(2/3) 向量OA+(1/3) 向量OB；
向量OA2=向量OA+向量AA2
=向量OA+（2/3）向量AB
=向量OA+（2/3）(向量OB-向量OA)
=(1/3) 向量OA+(2/3) 向量OB,
∴向量OA1+向量OA2=向量OA+向量OB.
（2）结论：若点A1,A2,A3,…,An-1是线段AB的n等分点,（n≥3,n为正整数）,
则向量OA1+向量OA2+向量OA3+…+向量OAn-1=[（n-1）/2]( 向量OA+向量OB).
证明：向量OAk=向量OA+向量AAk
=向量OA+（k/n）向量AB
=向量OA+（k/n）(向量OB-向量OA)
=[(n-k)/n] 向量OA+（k/n）向量OB.
向量OA1+向量OA2+向量OA3+…+向量OAn-1
={[(n-1)/n] 向量OA+（1/n）向量OB}+{[(n-2)/n] 向量OA+（2/n）向量OB}+{[(n-3)/n] 向量OA+（3/n）向量OB}+…+{（1/n）向量OA+[（n-1）/n）]向量OB}
=[(n-1)/n+(n-2)/n+(n-3)/n+…+(1/n）] 向量OA+[(1/n)+（2/n）+（3/n）+…+（n-1）/n] 向量OB
=[（n-1）/2] 向量OA+[（n-1）/2] 向量OB
=[（n-1）/2]( 向量OA+向量OB).
∴结论成立.