如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为A（5，0），C（0，3）．射线y=kx交折线A-B-C于点P，点A关于OP的对称点为A′．（1）当点A′恰好在CB边上时，求CA′的长及k的值；（

Question

如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为A（5，0），C（0，3）．射线y=kx交折线A-B-C于点P，点A关于OP的对称点为A′．
（1）当点A′恰好在CB边上时，求CA′的长及k的值；
（2）如图2，当点P在AB边上，点A′在CB上方时，连接A′O、A′P分别交CB边于点E、F．是否存在实数k使得△A′EF≌△BPF？若存在，求出k值；若不存在，说明理由；
（3）以OP为直径作 M，则 M与矩形OABC最多有几个公共点，直接写出公共点个数最多时k的取值范围．

Answer 1

（1）如图1，∵点A与A′关于OP成轴对称，
∴OP垂直平分A A′，
∴O A′=OA=5，P A′=PA，
在Rt△A′CO中，
A′C²=25-9=16，
∴A′C=4，
设PA=x，则P A′=x，
在Rt△A′BP中，A′P²=PB²+A′B²，即x²=（3-x）²+1，
解得：x=(5)/(3)，
把P（5，(5)/(3)）代入y=kx得：k=(1)/(3)；

（2）存在实数k使得△A′EF≌△BPF，
如图2，若△A′EF≌△BPF，则有AE′=BP，AF′=BF，EF=PF，
设PA=x，则有EB=A′P=x，A′E=BP=3-x，
∴OE=5-（3-x）=2+x，CE=5-x，
在Rt△ECO中，根据勾股定理得：OE²=CE²+OC²，即（2+x）²=（5-x）²+9，
解得：x=(15)/(7)，
把P（5，(15)/(7)）代入y=kx得：k=(3)/(7)；

（3）如图3，当0<k<(11)/(60)时，有4个共同点，
k=(11)/(60)或(60)/(91)时，有5个共同点，
k=(3)/(5)时，有4个共同点，
故最多有6个交点，k的取值范围是：(11)/(60)<k<(60)/(91)且k≠(3)/(5)．