在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．（1）如图，若A，B两点的坐标分别是A（0，4），B（-2，0），求C点的坐标．（2）如图，点P是射线BA上A点右边一动点，以CP为斜边作等腰直角△CPF，其中∠F=90°，点

Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）如图，若A，B两点的坐标分别是A（0，4），B（-2，0），求C点的坐标．
（2）如图，点P是射线BA上A点右边一动点，以CP为斜边作等腰直角△CPF，其中∠F=90°，点Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点，若点P运动时，点Q是否恒在∠ABC的平分线上？若在，请说明，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1） 如图1中，作CM⊥OA垂足为M，
∵∠AOB=∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAM=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAM，
在△ABO和△CAM中，

∠ABO=∠CAM

∠AOB=∠AMC

AB=AC

，
∴△ABO≌△CAM，
∴MC=AO=4，AM=BO=2，MO=AO-AM=2，
∴点C坐标（4，2）．
（2）结论：点Q是否恒在∠ABC的平分线上，理由如下：
如图2中作QE⊥PF，QG⊥FC，QF⊥BC，QM⊥BP，QN⊥BC，垂足分别为E、G、F、M、N．
在四边形QMBN中，∵∠QMB=∠QNB=90°，
∴∠MQN=180°-∠ABC=135°，
同理可证：∠FQG=135°，
∴∠MQN=∠FQG，
∴∠MQF=∠GQN，
∵PQ平分∠FPC，QF平分∠PFC，QE⊥PF，QF⊥PC，QG⊥FC，
∴QE=QF=QG，∠QPF=(1)/(2)∠CPF=22.5°，
∵∠PMQ=∠PFQ=90°，
∴M、F、Q、P四点共圆，
∴∠FMP=∠FPQ=22.5°，同理∠QNG=22.5°，
∴∠FMQ=∠QNG，
在△MFQ和△NGQ中，

∠FMQ=∠QNG

∠MQF=∠NQG

QF=QG

，
∴△MFQ≌△NGQ，
∴QM=QN，∵QM⊥BP，QN⊥BC，
∴BQ平分∠ABC，
∴点Q是否恒在∠ABC的平分线上．