判断命题“对任意x∈[3,+00),f(x)=x+1/x>=10/3"的真假,并证明

Question

判断命题“对任意x∈[3,+00),f(x)=x+1/x>=10/3"的真假,并证明

Answer 1

真
如果你学过导数,可以对f(x)求导：f(x)'=1-1/x^2 ;
因为x>=3;所以f(x)'>0;
所以在区间[3,+00),f(x)为单调递增函数,当x=3时取得最小值,即f(x)>=f(3)=10/3;
如果没有学过导数,可以用归纳法：
当x=3时,f(3)=10/3,条件f(x)=x+1/x>=10/3成立；
任取t∈(0,+00),设k=x+t;
则f(k)-f(x)=f(x+t)-f(x)=(x+t)+1/(x+t)-(x+1/x) = t +1/(x+t) - 1/x = t(1 - 1/(x(x+t)))>0 (x>=3)
所有f(k)>f(x)>=10/3;得证
综上所述：x∈[3,+00),f(x)=x+1/x>=10/3