已知函数f（x）=2x+2ax+b且f（1）=52，f（2）=174．（1）求a，b的值：（2）判断并证明f（x）的奇偶性：（3）判斯并证明函数f（x）在[0，+∞）的单调性，并求f（x）的值域．

Question

已知函数f（x）=2^x+2^ax+b且f（1）=(5)/(2)，f（2）=(17)/(4)．
（1）求a，b的值：
（2）判断并证明f（x）的奇偶性：
（3）判斯并证明函数f（x）在[0，+∞）的单调性，并求f（x）的值域．

Answer 1

（1）∵f（1）=(5)/(2)，f（2）=(17)/(4)，∴

2+2a+b=(5)/(2)

22+22a+b=(17)/(4)

，解得

a=-1

b=0

．
（2）由（1）知f（x）=2^x+2^-x，f（x）的定义域为R．f（-x）=2^-x+2^x=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（3）f（x）在[0，+∞）上是增函数．
f′（x）=2^xln2-2^-xln2=ln2（2^x-(1)/(2x)）．
∵x≥0，∴2^x≥1，∴2^x-(1)/(2x)≥0，∴f′（x）≥0．
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数．f_min（x）=f（0）=2，
∴f（x）的值域是[0，+∞）．