已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF．（1）求证：DE=DF；（2）求证：△BDE≌△CDF；（3）求证：AD是BC的中垂线．

Question

已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF．

（1）求证：DE=DF；
（2）求证：△BDE≌△CDF；
（3）求证：AD是BC的中垂线．

Answer 1

证明：（1）∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD．
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AED=∠AFD=90°．
在△AED和△AFD中

∠EAD=∠FAD

∠AED=∠AFD

AD=AD

，
∴△AED≌△AFD．
∴DE=DF．
（2）∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD=90°．
在△BDE和△CDF中

BE=CF

∠BED=∠CFD=90°

DE=DF

，
∴△BDE≌△CDF．
（3）∵△AED≌△AFD，
∴AE=AF．
又∵BE=FC，
∴AB=AC．
在△ABD和△ACD中

AB=AC

∠BAD=∠CAD

AD=AD

，
∴△ABD≌△ACD．
∴∠BDA=∠CDA=90°，BD=DC．
∴AD是BC的中垂线．