在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AA1=根号七,点D是BC中点,点E在AC上,且DE垂直A1E（1）证明平面A1DE垂...在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AA1=根号七,点D是BC中点,点E在AC上,且DE垂直A1E（1）证明平面A1DE垂直平面ACC1

Question

在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AA1=根号七,点D是BC中点,点E在AC上,且DE垂直A1E（1）证明平面A1DE垂...
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AA1=根号七,点D是BC中点,点E在AC上,且DE垂直A1E（1）证明平面A1DE垂直平面ACC1A1,（2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值

Answer 1

（1）因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以AA'⊥面ABC,所以AA'⊥DE,
又∵DE⊥A'E,且A'E交AA'于A',
所以DE⊥面AA'C'C,所以,面A'DE⊥面AA'C'C.
（2）∵DE⊥面AA'C'C,∴DE⊥AC,又点D是BC中点,∴点E是AC的4等分点,AC=4CE=4,AE=3
作AF⊥A1E,交A1E于F,AF=3√7/4
又∵面A'DE⊥面AA'C'C,面A'DE∩面AA'C'C=A1E,
∴AF⊥面A'DE
∴∠ADF为直线AD和平面A1DE所成角
在Rt△AFD中,AF⊥FD,AF=3√7/4,AD=2√3,
sin∠ADF=AF/AD=(3√7/4)/2√3=√21/8
所以,直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为√21/8