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如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,D是AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BD;(2)求证:平面A1BD⊥平面ACC1A1;(3)求二面角A-A1B-D的余弦值.
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(1)求证:B1C∥平面A1BD;
(2)求证:平面A1BD⊥平面ACC1A1;
(3)求二面角A-A1B-D的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连AB1交A1B于点E,连DE,则E是AB1的中点,
∵D是AC的中点,∴DE∥B1C
∵DE⊂平面A1BD,B1C⊄平面A1BD,∴B1C∥平面A1BD;
(2)证明:∵ABC-A1B1C1是正三棱柱
∴AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥BD,
∵AB=BC,D是AC的中点,∴AC⊥BD
∵AA1∩AC=A,∴BD⊥平面ACC1A1,
∵BD⊂平面A1BD,∴平面A1BD⊥平面ACC1A1;

(3)法一:设AA1=2a,∵AA1=AB,∴AE⊥BA1,且AE=
a,
作AF⊥A1D,连EF
∵平面A1BD⊥平面ACC1A1,∴AF⊥平面A1BD,∴EF⊥BA1
∴∠AEF就是二面角A-A1B-D的平面角,
在△A1AD中,AF=
a,
在△AEF中,EF=
=
=
a
∴cos∠AEF=
=
∵D是AC的中点,∴DE∥B1C
∵DE⊂平面A1BD,B1C⊄平面A1BD,∴B1C∥平面A1BD;
(2)证明:∵ABC-A1B1C1是正三棱柱
∴AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥BD,
∵AB=BC,D是AC的中点,∴AC⊥BD
∵AA1∩AC=A,∴BD⊥平面ACC1A1,
∵BD⊂平面A1BD,∴平面A1BD⊥平面ACC1A1;

(3)法一:设AA1=2a,∵AA1=AB,∴AE⊥BA1,且AE=
2 |
作AF⊥A1D,连EF
∵平面A1BD⊥平面ACC1A1,∴AF⊥平面A1BD,∴EF⊥BA1
∴∠AEF就是二面角A-A1B-D的平面角,
在△A1AD中,AF=
2 | ||
|
在△AEF中,EF=
AE2−AF2 |
2a2−
|
| ||
|
∴cos∠AEF=
EF |
AE |
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