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如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，D是AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求证：平面A1BD⊥平面ACC1A1；（3）求二面角A-A1B-D的余弦值．
题目详情
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，D是AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；
（2）求证：平面A1BD⊥平面ACC1A1；
（3）求二面角A-A1B-D的余弦值．
▼优质解答
答案和解析
（1）证明：连AB1交A1B于点E，连DE，则E是AB1的中点，
∵D是AC的中点，∴DE∥B1C
∵DE⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD；
（2）证明：∵ABC-A1B1C1是正三棱柱
∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BD，
∵AB=BC，D是AC的中点，∴AC⊥BD
∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，
∵BD⊂平面A1BD，∴平面A1BD⊥平面ACC1A1；
（3）法一：设AA1=2a，∵AA1=AB，∴AE⊥BA1，且AE＝
a，
作AF⊥A1D，连EF
∵平面A1BD⊥平面ACC1A1，∴AF⊥平面A1BD，∴EF⊥BA1
∴∠AEF就是二面角A-A1B-D的平面角，
在△A1AD中，AF＝
a，
在△AEF中，EF＝
＝
＝
a
∴cos∠AEF＝
＝
∵D是AC的中点，∴DE∥B1C
∵DE⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD；
（2）证明：∵ABC-A1B1C1是正三棱柱
∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BD，
∵AB=BC，D是AC的中点，∴AC⊥BD
∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，
∵BD⊂平面A1BD，∴平面A1BD⊥平面ACC1A1；
（3）法一：设AA1=2a，∵AA1=AB，∴AE⊥BA1，且AE＝
| 2 |
作AF⊥A1D，连EF
∵平面A1BD⊥平面ACC1A1，∴AF⊥平面A1BD，∴EF⊥BA1
∴∠AEF就是二面角A-A1B-D的平面角，
在△A1AD中，AF＝
| 2 | ||
|
在△AEF中，EF＝
| AE2−AF2 |
2a2−
|
| ||
|
∴cos∠AEF＝
| EF |
| AE |
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