O为△ABC的三边中垂线的交点,且AC2-2AC+AB2=0求BC向量乘AO向量的取值范围

Question

O为△ABC的三边中垂线的交点,且AC2-2AC+ AB2=0求BC向量乘AO向量的取值范围

Answer 1

O是△ABC三边中垂线的交点,即O是三角形的外接圆圆心.
延长AO交外接圆于D. cosDAC=AC/AD, cosDAB= AB/AD,
AO*BC=1/2AD*(AC-AB)
=1/2(AD*AC-AD*AB)
=1/2(|AD||AC|cosDAC-|AD||AB|cosDAB)
=1/2(|AD||AC|* AC/AD-|AD||AB|* AB/AD)
=1/2(|AC|^2-|AB|^2)
因为AC^2-2|AC|+AB^2＝0,代入上式可得：
AO*BC=1/2(|AC|^2+AC^2-2|AC|)
= AC^2-|AC|
=(|AC|-1/2)^2-1/4,
AC^2-2|AC|+AB^2＝0,则AB^2＝-AC^2+2|AC|
因为AB^2>0,所以-AC^2+2|AC|>0, 所以0