已知x为实数，复数z=（x2+x-2）+（x2+3x+2）i．（Ⅰ）当x为何值时，复数z为纯虚数？（Ⅱ）当x=0时，复数z在复平面内对应的点Z落在直线y=-mx+n上，其中mn＞0，求1m+1n的最小值及取得最值时的m、n

Question

已知x为实数，复数z=（x²+x-2）+（x²+3x+2）i．
（Ⅰ）当x为何值时，复数z为纯虚数？
（Ⅱ）当x=0时，复数z在复平面内对应的点Z落在直线y=-mx+n上，其中mn＞0，求(1)/(m)+(1)/(n)的最小值及取得最值时的m、n值．

Answer 1

（Ⅰ）复数z为纯虚数，∴

x2+x−2＝0

x2+3x+2≠0

，解得x=1．
（Ⅱ）当x=0时，复数z（-2，2），复数z在复平面内对应的点Z落在直线y=-mx+n上，∴2m+n=2，
∵mn＞0，∴(1)/(m)+(1)/(n)=（(1)/(m)+(1)/(n)）（m+(n)/(2)）=(3)/(2)+(m)/(n)+(n)/(2m)≥(3)/(2)+√(2)当且仅当n2=2m2等号成立，
又2m+n=2，
∴m=2-√(2)，n=2√(2)-2．