已知复数z=（1+i1-i）2016+（1-i）2（其中i为虚数单位）．若复数z的共扼复数为.z，且.z•z1=4+3i．（1）求复数z1及z1在复平面中对应点的坐标；（2）若z1是关于x的方程x2-px+q=0的一个根，求实数p，

Question

已知复数z=（(1+i)/(1-i)）²⁰¹⁶+（1-i）²（其中i为虚数单位）．若复数z的共扼复数为

.

z

，且

.

z

•z₁=4+3i．
（1）求复数z₁及z₁在复平面中对应点的坐标；
（2）若z₁是关于x的方程x²-px+q=0的一个根，求实数p，q的值，并求出方程x²-px+q=0的另一个复数根．

Answer 1

（1）∵z=（(1+i)/(1-i)）²⁰¹⁶+（1-i）²（其中i为虚数单位）
=i²⁰¹⁶-2i
=1-2i，
∴复数z的共扼复数为

.

z

=1+2i，
∵

.

z

•z₁=4+3i，
∴z₁=(4+3i)/(1+2i)=((4+3i)(1-2i))/((1+2i)(1-2i))=(-5i+10)/(5)=2-i，
∴z₁=2-i，z₁在复平面中对应点的坐标为（2，-1）．
（2）由题意知（2-i）²-p（2-i）+q=0，
化简，得（3-2p+q）+（p-4）i=0，
∴3-2p+q=0，解得p=4，q=5．
∴方程为x²-4x+5=0，即（x-2）²=-1=i²，
解得另一个复数根为2+i．