1.已知z是虚数,求证：z+1/z为实数的充要条件是｜z｜=1.证法一：因为|z|=1,所以zz'=|z|²=1.所以z'=1/z.所以z+1/z=z+z'∈R.↳若z+1/z∈R,即z+1/z=z'+(1/z)'=z'+1/z',怎么来的?z'表示z的共轭复数

Question

1.已知z是虚数,求证：z+1/z为实数的充要条件是｜z｜=1.
证法一：
因为|z|=1,所以zz'=|z|²=1.
所以z'=1/z.所以z+1/z=z+z'∈R.
↳ 若z+1/z∈R,即z+1/z=z'+(1/z)'
=z'+1/z' ,
怎么来的?z'表示z的共轭复数

Answer 1

设 z=a+bi
必要条件：
z+1/z
=a+bi+[1/(a²+b²)](a-bi)
=a+[a/(a²+b²)]+[b-b/(a²+b²)]i
是实数
所以 b-b/(a²+b²)=0
a²+b²=1 所以
｜z｜=1
充分条件：
｜z｜=1.
a²+b²=1
z+1/z
=a+bi+[1/(a²+b²)](a-bi)
因为 a²+b²=1
所以上式
=a+bi+a-bi
=2a
是实数
因为|z|=1,所以zz'=|z|²=1.【 |z|=a²+b² |z'|=a²+(-b)²=a²+b²=|z|】
所以 z'=1/z.【由zz'=1得到】 所以z+1/z=z+z'∈R.
↳ 若z+1/z∈R,即z+1/z=z'+(1/z)'【z'=1/z z=1/z'】
=z'+1/z' ,