用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式(1+13)(1+15)…(1+12n−1)＞2n+12成立．

Question

用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式(1+(1)/(3))(1+(1)/(5))…(1+(1)/(2n−1))＞(√(2n+1))/(2)成立．

Answer 1

证明：①当n=2时，左端=1+(1)/(3)=(4)/(3)，右端=(√(5))/(2)，又知(16)/(9)＞(5)/(4)，∴左端＞右端，即当n=2时有原不等式成立．
②假设当n=k时，有原不等式成立，即(1+(1)/(3))(1+(1)/(5))…(1+(1)/(2k−1))＞(√(2k+1))/(2)成立，
那么当n=k+1时，有(1+(1)/(3))(1+(1)/(5))…(1+(1)/(2k−1))(1+(1)/(2k+1) )＞(√(2k+1))/(2)(1+(1)/(2k+1))=(k+1)/(√(2k+1))
又4k²+8k+4＞4k²+8k+3，∴4(k+1)2＞√(2k+1)•

作业帮用户 2016-12-08

问题解析

当n=2时，代入不等式左右端，验算可得证．再证明从k到k+1时，构造4k²+8k+4＞4k²+8k+3，向要证明的代数式转化即可证明n=k时也成立，从而结论得证．

名师点评

本题考点：

数学归纳法．

考点点评：

此题考查用数学归纳法证明不等式，数学归纳法证明关键在于注意从k到k+1中间的变化过程．

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