数学归纳法证明1^2-2^2+3^2-4^2+···+(-1)^(n-1)*(1/2)*n*(n+1),在假设n=k等式成立时,进一步要证明n=k+1时的等式为?并用数学归纳法证明

Question

数学归纳法证明1^2 - 2^2 +3^2 -4^2 +···+(-1)^(n-1)*(1/2)*n*(n+1),在假设n=k等式成立时,进一步要证明n=k+1时的等式为?
并用数学归纳法证明

Answer 1

1-2^2+3^2-4^2+…+(-1)^(n-1)*n^2=(-1)^(n-1)*[n(n+1)]/2
（1）当n=1时1=(-1)^0成立 即当n=1时上式成立
（2）假设当n=K（K为正自然数）时上式成立即
1-2^2+3^2-4^2...+(-1)^(K-1)*K^2=(-1)^(K-1)*K(K+1)/2
则当n=K+1时
1-2^2+3^2-4^2...+(-1)^(K-1)*K^2+(-1)^K*（K+1）^2=(-1)^(K-1)*K(K+1)/2+(-1)^K*（K+1）^2=(-1)^K*(K+1)(K+2)/2
既当n=K+1时上式也成立
综上 由（1）（2）知 1-2^2+3^2-4^2...+(-1)^(n-1)*n^2=(-1)^(n-1)*n(n+1)/2