设数列{an}满足：a1=1，a2=2，an+2=an(an+12+1)an2+1n∈N）．（1）求an+1与an之间的递推关系式an+1=f（an）；（2）求证：当n≥2时，2＜an2-an-12≤3；（3）求a2014的整数部分．

Question

设数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，a_n+2=(an(an+12+1))/(an2+1)n∈N）．
（1）求a_n+1与a_n之间的递推关系式a_n+1=f（a_n）；
（2）求证：当n≥2时，2＜a_n²-a_n-1²≤3；
（3）求a₂₀₁₄的整数部分．

Answer 1

（1）由a_n+2=(an(an+12+1))/(an2+1)，可得(an+2)/(an+1−(1)/(an+1))=(an+1)/(an−(1)/(an))，
∴(an+2)/(an+1−(1)/(an+1))=(an+1)/(an−(1)/(an))=…=(2)/(1−(1)/(1))=1，
∴a_n+1=a_n-(1)/(an)；
（2）证明：∵a₁=1，a_n+1=a_n-(1)/(an)，
∴数列{a_n}是递增数列，
∴0＜(1)/(an2)≤1，
n≥2时，a_n²=（a_n-1-(1)/(an−1)）²=a_n-1²+(1)/(an−12)-2，
∴a_n²-a_n-1²=(1)/(an−12)-2，
∴2＜a_n²-a_n-1²≤3；
（3）∵a_n²=a_n-1²+(1)/(an−12)-2，
∴a₂₀₁₄²=

作业帮用户 2017-10-06