已知f（x）=x+xlnx，若k∈z，且k（x-2）<f（x）对任意x>2恒成立，则k的最大值是．

Question

已知f（x）=x+xlnx，若k∈z，且k（x-2）<f（x）对任意x>2恒成立，则k的最大值是___．

Answer 1

∵x>2，
∴k（x-2）(f(x))/(x-2)=(x+xlnx)/(x-2)；
令F（x）=(x+xlnx)/(x-2)，
则F′（x）=((1+lnx+x•(1)/(x))(x-2)-(x+xlnx))/((x-2)2)=(x-2lnx-4)/((x-2)2)；
令g（x）=x-2lnx-4，则g′（x）=1-(2)/(x)>0，
故g（x）在（2，+∞）上是增函数，
且g（8）=8-2ln8-4=2（2-ln8）<0，g（9）=9-2ln9-4=5-2ln9>0；
故存在x₀∈（8，9），使g（x₀）=0，即2lnx₀=x₀-4；
故F（x）=(x+xlnx)/(x-2)在（2，x₀）上是减函数，在（x₀，+∞）上是增函数；
故F_min（x）=F（x₀）=(x0+x0(x0-4)/(2))/(x0-2)=(x0)/(2)；
故k<(x0)/(2)；
故k的最大值是4；
故答案为：4．