已知函数，.（I）讨论的单调性.（II）当时，讨论关于的方程的实根的个数.

Question

已知函数 ， .
（I）讨论 的单调性.
（II）当 时，讨论关于 的方程 的实根的个数.

Answer 1

已知函数 ， .
（I）讨论 的单调性.
（II）当 时，讨论关于 的方程 的实根的个数.

（I）当 时， 在 上单调递增，在 和 上单调递减. 当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减（II）即 时，原方程有一解. 时，原方程有两解. 时，原方程有三解.　

（I）依题 ，　―――――――――――――――（1分）
令 ，即： .　―――――――――――――――――――（2分）
易知，当 时， 在 上单调递增，　―――――――――――――――（4分）
在 和 上单调递减.　――――――――――――――――――（6分）
当 时， 在 和 上单调递增，　――――――――――――（7分）
在 上单调递减.　―――――――――――――――――――――――――－（8分）
（II）由（I）知当 时，
_极小 ＝ ， _极大 ＝ 　――――――――――――――――（9分）
又当 或 时， ，
可见 的图象如下：　――――――――――（10分）
而方程 ，
转化为 　――――――――――――（11分）
可见，当 时，即 时，原方程有一解.
同理：
时，原方程有两解.
时，原方程有三解.　――――――――－（12分