已知函数f（x）=a-2ex+1在R上是奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断并证明f（x）在R上的单调性．

Question

已知函数f（x）=a-(2)/(ex+1)在R上是奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）判断并证明f（x）在R上的单调性．

Answer 1

（本小题满分13分）
（Ⅰ）∵f（x）=a-(2)/(ex+1)在R上是奇函数
∴f（0）=0，…（2分）
即a-(2)/(e0+1)=0
∴a=1，此时f（x）=1-(2)/(ex+1)…（4分）
经检验，当a=1时，f（-x）=-f（x），即函数f（x）为奇函数
∴a=1…（6分）
（Ⅱ）f（x）在R上是增函数，证明如下
∵f（x）=1-(2)/(ex+1)
任取x₁，x₂∈R，，且x₁＜x₂…（7分）
则f（x₁）-f（x₂）=(2(ex1−ex2))/((ex1+1)(ex2+1))…（10分）
∵x₁＜x₂
∴ex1＜ex2，（ex1+1）（ex2+1）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函数．…（13分）