数学分析中关于单调函数的一个性质：f在[a,b]连续,且在(a,b)递增,则f在[a,b]递增,该怎么证明呢?由微分中值定理推得单调函数的充要条件后,书上注明了上面关于单调函数应用很广的这个性质,

Question

数学分析中关于单调函数的一个性质：f在[a,b]连续,且在(a,b)递增,则f在[a,b]递增,该怎么证明呢?
由微分中值定理推得单调函数的充要条件后,书上注明了上面关于单调函数应用很广的这个性质,虽然直观上能理解,但却证明不了,请各位高手帮我看看能不能证明呢?

Answer 1

我来证明,等一下,先占个位子 ,楼上的都是废话,什么是证明?搞清楚点
证明：f(x)在[a,b]连续
则有lim(x->b)f(x)=f(b),lim(x->a)f(x)=f(a).注明：(x->b)为x趋向b,是下标.
又f(x)在(a,b)递增
则存在一个无穷小的正数§,使得f(x)b,b=x+一个无穷小,
令这个无穷小为2§,即b=x+2§,（大学里面有这个公式定理,我之所以用2§是因为等下好比较,§为无穷小,当然2§也为无穷小.现在大3了,忘了很多）
所以lim(x->x+2§)f(x)=f(b),
又因为f(x+§)x+2§)f(x)
因此,对任意的x都存在一个无穷小的正数§,使得f(x+§)f(a)
f(x)在[a,b]连续,所以f(x)在[a,b]递增.
求分,求推荐.