反函数都是单调函数,老师说单调不是严格意义上的单调,那么是什么?严格意义上的单调是在定义域为单调函数吗?

Question

反函数都是单调函数,老师说单调不是严格意义上的单调,那么是什么?
严格意义上的单调是在定义域为单调函数吗?

Answer 1

要想理解反函数,首先要明确“函数”的定义
函数：若对于的每一个a的取值,都有且只有一个b的值与其对应,那么b就是a的函数
可以记作b=f(a)
反函数：
今有函数y=f(x),（显然,y是x的函数）.若满足“x也是y的函数”,则函数y=f(x)存在反函数；若x不是y的函数,则函数y=f(x)不存在反函数
解释：
若有一个函数y=f(x),则一定有“对于(定义域内)每一个x的取值,都有且只有一个y的值与其对应”.
在此基础上,若对于的每一个y的取值,都有且只有一个x的值与其对应,那么x就也是y的函数
即x与y的关系也可以记作x=g(y)
那么就可以说y=f(x)的反函数是y=g(x)
若有一个函数y=f(x),（则一定有“对于的每一个x的取值,都有且只有一个y的值与其对应”）
但是对于某些y值,有不止一个x值与其对应,那么y就不是x的函数
也就是说y=f(x)没有反函数
举几个例子就更容易说了：
比如函数y=x^2,要想判断它有没有反函数,就要判断“x是不是y的函数”
由图像显然得出,对于每一个y,有不止1个x与其对应,不符合函数的定义,所以x不是y的函数
所以函数y=x^2不存在反函数
其实求反函数就是一个“反解x的过程”,即把每一个y的值代进去后,关于x的方程的根“有且只有一个”,那么x就是y的函数；若存在某一个y值,使关于x的方程的根大于1个,就说明x不是y的函数.
反映在平面直角坐标系上就是：若每一个平行于x轴的直线都与函数y=f(x)图象 只有一个交点 或者没有交点,则y=(x)就存在反函数.反之则y=f(x)不存在反函数
比如函数y=2x,由反解x得：x=y/2,显然,x是y的函数
所以函数y=2x存在反函数,且其反函数为y=x/2（反函数要把原来的x和y换个位置）
说一下你的问题：
可以说：若函数y=f(x)在其定义域上单调,则函数y=f(x)一定存在反函数
而不能说：若函数y=f(x)存在反函数,则函数y=f(x)一定在其定义域内是单调函数
因为,如果若函数y=f(x)在其定义域上单调,则对于每一个y,一定有且只有一个x与其对应,所以x是y的函数,所以y=f(x)存在反函数
如果y=f(x)存在反函数,则只能说明x也是y的函数,而仅由这个条件是不足以推出“y=f(x)是单调函数”的.比如y=1/x,它就满足y是x的函数且x是y的函数,所以它也是反函数,但它在其定义域内并不是严格地单调.
总之,一个函数有没有反函数,与其是否单调 没有必然联系