已知函数f(x)=12(x+ax)，(x≠0，x∈R)在(1，+∞)上为增函数，函数g（x）=lnx-ax，（x＞0，x∈R）在（1，+∞）上为减函数．（1）求实数a的值；（2）求证：对于任意的x1∈[1

Question

已知函数 f(x)=(1)/(2) (x+(a)/(x) )，(x≠0，x∈R)在(1，+∞) 上为增函数，函数g（x）=lnx-ax，（x＞0，x∈R）在（1，+∞）上为减函数．
（1）求实数a的值；
（2）求证：对于任意的x ₁ ∈[1，m]（m＞1），总存在x ₂ ∈[1，m]，使得g（x ₂ ）+f（x ₁ ）=0．

Answer 1

（1） f ′ (x)=(1)/(2) (1-(a)/(x2) )≥0 在（1，+∞）上恒成立，
则a≤x ² 在（1，+∞）上恒成立，
∴a≤1．…（3分）
又 g ′ (x)=(1)/(x) -a≤0 在（1，+∞）上恒成立，
则 a≥(1)/(x) 在（1，+∞）上恒成立．
∴a≥1．…（5分）
从而为a=1…（7分）
（2）依题意可知，证明对于任意的x ₁ ∈[1，m]（m＞1），
总存在x ₂ ∈[1，m]，使得g（x ₂ ）+f（x ₁ ）=0．
只须证：函数y=-f（x）的值域是函数y=g（x）值域的子集．
设y=-f（x）的值域为M，y=g（x）的值域为N；
由（1）可知y=-f（x）= -(1)/(2) (x+ (1)/(x) ) 在[1，m]上为减函数，
g（x）=lnx-x在[1，m]上为减函数
∴ M=[-(1)/(2) (m+(1)/(m) )，-1]，N=[lnm-m，-1] …（10分）
设 ϕ(x)=x-(1)/(x) -2lnx，(x＞1)
则∵x＞1，
∴ ϕ′(x)=1+(1)/(x2) -(2)/(x) =((x-1)2)/(x2) ＞0 ，
∴y=ϕ（x）在（1，+∞）上为增函数
∵m＞1，
∴ϕ（m）＞ϕ（1）=0
∴ 2lnm＜m-(1)/(m)
∴ -(1)/(2) (m+(1)/(m) )＞lnm-m …（14分）
∴M⊆N，即对于任意的x ₁ [1，m]（m＞1）
总存在x ₂ ∈[1，m]，使得g（x ₂ ）+f（x ₁ ）=0…（15分）