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一元二次方程设二次三项式ax^2+bx+c的系数是正整数.当x=1997时,二次三项式的值a*1997^2+b*1997+c=p是一个素数.证明ax^2+bx+c不可能分解为两个整系数一次式的乘积.）
题目详情
一元二次方程
设二次三项式ax^2+bx+c的系数是正整数.当x=1997时,二次三项式的值a*1997^2+b*1997+c=p是一个素数.证明ax^2+bx+c不可能分解为两个整系数一次式的乘积.）
设二次三项式ax^2+bx+c的系数是正整数.当x=1997时,二次三项式的值a*1997^2+b*1997+c=p是一个素数.证明ax^2+bx+c不可能分解为两个整系数一次式的乘积.）
▼优质解答
答案和解析
用反证法,假设ax^2+bx+c=（kx+S）*(mx+T)(k,m,S,T为整数)则
km=a,ST=c,kS+Tm=b;
因为a,b,c都为正整数,故k,m,S,T同号,不妨设他们都大于0（小于0时是一样得）,则
1997k+S为大于0得整数,1997m+T为大于0得整数.
也就是p=(1997k+S)*(1997m+T)不为素数,矛盾.
km=a,ST=c,kS+Tm=b;
因为a,b,c都为正整数,故k,m,S,T同号,不妨设他们都大于0（小于0时是一样得）,则
1997k+S为大于0得整数,1997m+T为大于0得整数.
也就是p=(1997k+S)*(1997m+T)不为素数,矛盾.
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