已知函数f（x）=（x-2）lnx+2x-3，x≥1．（1）试判断函数f（x）的零点个数；（2）若函数g（x）=（x-a）lnx+a(x-1)x在[1，+∞）上为增函数，求整数a的最大值．（可能要用的数据：ln1.59≈0.46；ln1.60

Question

已知函数f（x）=（x-2）lnx+2x-3，x≥1．
（1）试判断函数f（x）的零点个数；
（2）若函数g（x）=（x-a）lnx+(a(x-1))/(x)在[1，+∞）上为增函数，求整数a的最大值．（可能要用的数据：ln1.59≈0.46；ln1.60≈0.47；(400)/(41)≈9.76）

Answer 1

（1）由f（x）=（x-2）lnx+2x-3，x≥1，求导f′（x）=lnx-(2)/(x)+3，（x≥1），
则f′（x）>0恒成立，
则函数f（x）在[1，+∞）为增函数，
由f′（x）≥f′（1）=1，
故f（x）=（x-2）lnx+2x-3在[1，+∞）为增函数，
又由f（1）=-1<0，f（2）=1>0，
∴函数f（x）在[1，+∞）上有唯一的零点；
（2）g（x）=（x-a）lnx+(a(x-1))/(x)，g′（x）=lnx+1-(a)/(x)+(a)/(x2)，在[1，+∞）上恒成立，
由x=1，显然成立，则a≤(x2(lnx+1))/(x-1)在[1，+∞）上恒成立，
令h（x）=(x2(lnx+1))/(x-1)，x∈（1，+∞），
则a小于h（x）的x在区间（1，+∞）上的最小值，
求导h′（x）=(x[(x-2)lnx+2x-3])/((x-1)2)，
由（1）可知f（x）=（x-2）lnx+2x-3在[1，+∞）为增函数，
故f（x）在[1，+∞）上由唯一的零点m，
由f（1.60）=0.012，f（1.59）=-0.0086<0，
则m∈（1.59，1.60），f（m）=（m-2）lnm+2m-3=0，则lnm=(2m-3)/(2-m)，
由当x∈（1，m），h′（x）<0，h（x）在（1，m]为减函数，
x∈（m，+∞），h′（x）>0，h（x）在[m，+∞）为增函数，
故当x=m，h（x）有最小值h（m）=(m2(lnm+1))/(m-1)=(m2)/(2-m)，
令2-m=t∈（0.4，0.41），则h（x）最小值有，(m2)/(2-m)=((2-t)2)/(t)=t+(4)/(t)-4∈（(41)/(100)+(236)/(41)，(32)/(5)）
(41)/(100)+(236)/(41)≈6.17，
∴h（x）的最小值大约在6.17～6.4之间，
故整数a的最大值为6．