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已知函数f(x)是定义在R上的函数,若对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,有f(x)>0.(1)判断函数的奇偶性:(2)判断函数f(x)在R上是增函数,还是减函数,并证明你的结论.主要求解第一问,以
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已知函数 f(x)是定义在R上的函数,若对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,有f(x)>0.
(1)判断函数的奇偶性:
(2)判断函数f(x)在R上是增函数,还是减函数,并证明你的结论.
主要求解第一问,以及该类型题的解题思路与方法
(1)判断函数的奇偶性:
(2)判断函数f(x)在R上是增函数,还是减函数,并证明你的结论.
主要求解第一问,以及该类型题的解题思路与方法
▼优质解答
答案和解析
(1),令x=y=0,则f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=2f(0) ∴f(0)=0
再令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(0)=f(x)+f(-x)
∴0=f(x)+f(-x) ∴f(x)=-f(-x)
∵x∈R ∴f(x)是奇函数.
判断函数的奇偶性,主要就是确定f(x)和f(-x)的关系,就是看f(x)±f(-x)=0的关系式.如果f(x)是奇函数,且f(x)在x=0处有意义,则f(0)=0
(2),令x>y,由于f(x)是奇函数,且f(x+y)=f(x)+f(y),那么
f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(x-y)
∵x>y ∴x-y>0
根据题意,x-y>0时,有f(x-y)>0
∴f(x)-f(y)>0
∴f(x)>f(y)
所以,f(x)在R上时单调递增函数.
再令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(0)=f(x)+f(-x)
∴0=f(x)+f(-x) ∴f(x)=-f(-x)
∵x∈R ∴f(x)是奇函数.
判断函数的奇偶性,主要就是确定f(x)和f(-x)的关系,就是看f(x)±f(-x)=0的关系式.如果f(x)是奇函数,且f(x)在x=0处有意义,则f(0)=0
(2),令x>y,由于f(x)是奇函数,且f(x+y)=f(x)+f(y),那么
f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(x-y)
∵x>y ∴x-y>0
根据题意,x-y>0时,有f(x-y)>0
∴f(x)-f(y)>0
∴f(x)>f(y)
所以,f(x)在R上时单调递增函数.
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