已知函数f(x)=x^2+m,对一切x属于R,都有f(f(x))=f(x^2+1).1.设g(x)=f(f(x)),求g(x)的解析式2.是否存在实常数k,使函数h(x)=g(x)-kf(x)在（-无穷,-1）上是减函数,且在（-1,0）上是增函数

Question

已知函数f(x)=x^2+m,对一切x属于R,都有f ( f(x) )=f ( x^2+1).
1.设g(x)=f ( f(x) ),求g(x)的解析式
2.是否存在实常数k,使函数h(x)=g(x) - kf(x)在（-无穷,-1）上是减函数,且在（-1,0）上是增函数

Answer 1

1.f(x)=x^2+m
f ( f(x) )=f(x²+m)=f(x²+1)
∴m=1
∴g(x)=(x²+1)²+1
2.假设k存在,h(x)=(x²+1)²+1-k(x²+1)=(x²+1)(x²+1-k)+1
h'(x)=2x(x²+1-k)+2x(x²+1)=2x(2x²+2-k)
由h(x)=g(x) - kf(x)在（-无穷,-1）上是减函数,且在（-1,0）上是增函数得h(-1)为h(x)的极小值
∴h'(-1)=-2(10-k)=0 k=10
代入验证
h(x)=(x²+1)(x²+1-10)+1
h'(x)=4x³-16x,令h''(x)=12x²-16≤0得﹣2√3/3≤x≤2√3/3
h'(x)在[-2√3/3,2√3/3]为减函数
又∵-2√3/3＜-1＜2√3/3 ∴h'(x)在[-2√3/3,-1]为减函数
h'(-2√3/3)=64√3/9 h'(-1)=12
h'(x)∈[12,64√3/9],h'(x)＞0
∴h(x)在[-2√3/3,-1]上为增函数 这与h(x)在(-∞,-1)上为减函数相悖
∴假设不成立即不存在实常数k 使函数h(x)=g(x) - kf(x)在（-无穷,-1）上是减函数,且在（-1,0）上是增函数