如果函数f（x）在开区间（ab）内可导，那么f（x）在（ab）内连续.

Question

如果函数 f （ x ）在开区间（ a b ）内可导，那么 f （ x ）在（ a b ）内连续.

Answer 1

证明:任取 x ₀ （ a b ）

∵ f （ x ₀ +Δ x ）

= ［ f （ x ₀ +Δ x ）－ f （ x ₀ ）+ f （ x ₀ ）］

= · Δ x + f （ x ₀ ）］

= · Δ x + f （ x ₀ ）

= f' （ x ₀ ）×0+ f （ x ₀ ）

= f （ x ₀ ）.

这就是说，如果函数 f （ x ）在点 x ₀ 处可导，那么 f （ x ）在点 x ₀ 处连续，由 x ₀ 的任意性知，如果函数 f （ x ）在（ a b ）内可导，那么 f （ x ）在（ a b ）内连续.

点评:本题是一重要结论，但逆命题不成立 例如函数 y =| x |.