幂函数f（x）=xα过点（2，4），求出f（x）的解析式并用单调性定义证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．

Question

幂函数f（x）=x^α过点（2，4），求出f（x）的解析式并用单调性定义证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．

Answer 1

由幂函数f（x）=x^α过点（2，4），得
4=2^α⇒α=2
f（x）=x² ；
f（x）在（0，+∞）上为增函数，证明如下：
设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁²-x₂²=x₁²-x₂²
=（x₁+x₂）（x₁-x₂）
∵x₁，x₂，∈（，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞0
∴（x₁-x₂）（x₁+x₂）＜0
即f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在（，+∞）上为增函数．