映射f：Rn→R二阶连续可微，且Hesse（f）≥In，In为n阶单位方阵，证明：∇f：Rn→Rn可逆，且逆映射光滑，其中∇f＝(∂f∂x1，∂f∂x2，…，∂f∂xn)为f的梯度．

Question

映射f：Rⁿ→R二阶连续可微，且Hesse（f）≥I_n，I_n为n阶单位方阵，证明：∇f：Rⁿ→Rⁿ可逆，且逆映射光滑，其中∇f＝((∂f)/(∂x1)，(∂f)/(∂x2)，…，(∂f)/(∂xn))为f的梯度．

Answer 1

证明：设F=∇f，F∈C¹（Rⁿ），
则有JF=Hesse（f），
由JF≥I_n，知x^TJFx≥x^Tx，∀x∈Rⁿ，
JF是正定矩阵，
∴|JF|≠0，
由反函数组的存在定理，F：Rⁿ→Rⁿ也是可逆映射，且其逆映射也是连续可微的，
结论得证．