已知函数f（x）具有任意阶导数，且f′（x）=[f（x）]2，则当n为大于2的正整数时，f（x）的n阶导数f（n）（x）是（）A.n![f（x）]n+1B.n[f（x）]n+1C.[f（x）]2nD.n![f（x）]2n

Question

已知函数f（x）具有任意阶导数，且f′（x）=[f（x）]²，则当n为大于2的正整数时，f（x）的n阶导数f^（n）（x）是（　　）
A. n![f（x）]ⁿ⁺¹
B. n[f（x）]ⁿ⁺¹
C. [f（x）]²ⁿ
D. n![f（x）]²ⁿ

Answer 1

设y=f（x），则可建立微分方程(dy)/(dx)＝y2
∴(dy)/(y2)＝dx，解得y＝−(1)/(x+C)（C为常数）
又由高阶导数公式：((1)/(x))(n)＝((−1)nn!)/(xn+1)，f^（n）（x+a）=[f（x+a）]^（n）
∴y(n)＝(−(1)/(x+C))(n)＝((−1)n+1n!)/((x+C)n+1)＝n!yn+1
故选：A．