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已知函数f（x）具有任意阶导数，且f′（x）=[f（x）]2，则当n为大于2的正整数时，f（x）的n阶导数f（n）（x）是（）A.n![f（x）]n+1B.n[f（x）]n+1C.[f（x）]2nD.n![f（x）]2n
题目详情
已知函数f（x）具有任意阶导数，且f′（x）=[f（x）]2，则当n为大于2的正整数时，f（x）的n阶导数f（n）（x）是（ ）
A. n![f（x）]n+1
B. n[f（x）]n+1
C. [f（x）]2n
D. n![f（x）]2n
A. n![f（x）]n+1
B. n[f（x）]n+1
C. [f（x）]2n
D. n![f（x）]2n
▼优质解答
答案和解析
设y=f（x），则可建立微分方程
＝y2
∴
＝dx，解得y＝−
（C为常数）
又由高阶导数公式：(
)(n)＝
，f（n）（x+a）=[f（x+a）]（n）
∴y(n)＝(−
)(n)＝
＝n!yn+1
故选：A．
| dy |
| dx |
∴
| dy |
| y2 |
| 1 |
| x+C |
又由高阶导数公式：(
| 1 |
| x |
| (−1)nn! |
| xn+1 |
∴y(n)＝(−
| 1 |
| x+C |
| (−1)n+1n! |
| (x+C)n+1 |
故选：A．
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