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如图,已知直线y=-3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C,对称轴为直线l:x=-1,该抛物线与x轴的另一个交点为B.(1)求此抛物线的解析式;(2)点P在直线l上,求
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如图,已知直线y=-3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C,对称轴为直线l:x=-1,该抛物线与x轴的另一个交点为B.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点P在直线l上,求出使△PAC的周长最小的点P的坐标;
(3)点M在此抛物线上,点N在y轴上,以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,直接写出所有满足要求的点M的坐标;若不能,请说明理由.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点P在直线l上,求出使△PAC的周长最小的点P的坐标;
(3)点M在此抛物线上,点N在y轴上,以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,直接写出所有满足要求的点M的坐标;若不能,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)直线y=-3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点C,
当y=0时,-3x+3=0,解得x=1,
则A点坐标为(1,0);
当x=0时,y=3,
则C点坐标为(0,3);
抛物线的对称轴为直线x=-1,
则B点坐标为(-3,0);
把C(0,3)代入y=a(x-1)(x+3)得3=-3a,
解得a=-1,
则此抛物线的解析式为y=-(x-1)(x+3)=-x2-2x+3;
(2)点A关于直线l的对称点是点B(-3,0)
如图1,连接BC,交对称轴于点P,则此时△PAC周长最小,
设直线BC的关系式为:y=mx+n,
把B(-3,0),C(0,3)代入y=mx+n得
,
解得
,
∴直线bC的关系式为y=x+3,
当x=-1时,y=-1+3=2,
∴P点坐标为(-1,2);
(3)①当以AB为对角线,如图2,
∵四边形AMBN为平行四边形,
A点横坐标为1,N点横坐标为0,B点横坐标为-3,
∴M点横坐标为-2,
∴M点纵坐标为y=-4+4+3=3,
∴M点坐标为(-2,3);
②当以AB为边时,如图3,
∵四边形ABMN为平行四边形,
∴MN=AB=4,即M1N1=4,M2N2=4,
∴M1的横坐标为-4,M2的横坐标为4,
对于y=-x2-2x+3,
当x=-4时,y=-16+8+3=-5;
当x=4时,y=-16-8+3=-21,
∴M点坐标为(-4,-5)或(4,-21).
综上所述,M点坐标为(-2,3)或(-4,-5)或(4,-21).
当y=0时,-3x+3=0,解得x=1,
则A点坐标为(1,0);
当x=0时,y=3,
则C点坐标为(0,3);
抛物线的对称轴为直线x=-1,
则B点坐标为(-3,0);
把C(0,3)代入y=a(x-1)(x+3)得3=-3a,
解得a=-1,
则此抛物线的解析式为y=-(x-1)(x+3)=-x2-2x+3;
(2)点A关于直线l的对称点是点B(-3,0)
如图1,连接BC,交对称轴于点P,则此时△PAC周长最小,
设直线BC的关系式为:y=mx+n,
把B(-3,0),C(0,3)代入y=mx+n得
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解得
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∴直线bC的关系式为y=x+3,
当x=-1时,y=-1+3=2,
∴P点坐标为(-1,2);
(3)①当以AB为对角线,如图2,
∵四边形AMBN为平行四边形,
A点横坐标为1,N点横坐标为0,B点横坐标为-3,
∴M点横坐标为-2,
∴M点纵坐标为y=-4+4+3=3,
∴M点坐标为(-2,3);
②当以AB为边时,如图3,
∵四边形ABMN为平行四边形,
∴MN=AB=4,即M1N1=4,M2N2=4,
∴M1的横坐标为-4,M2的横坐标为4,
对于y=-x2-2x+3,
当x=-4时,y=-16+8+3=-5;
当x=4时,y=-16-8+3=-21,
∴M点坐标为(-4,-5)或(4,-21).
综上所述,M点坐标为(-2,3)或(-4,-5)或(4,-21).
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