已知圆O：x2+y2=4，将圆O上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到曲线C．（I）写出曲线C的参数方程；（II）设直线l：x-2y+2=0与曲线C相交于A，B两点，以坐标原点为极点，x轴的

Question

已知圆O：x²+y²=4，将圆O上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的(1)/(2)，得到曲线C．
（I）写出曲线C的参数方程；
（II）设直线l：x-2y+2=0与曲线C相交于A，B两点，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线m过线段AB的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求直线m的极坐标方程．

Answer 1

（I）设曲线C上任意一点P（x，y），则点Q（x，2y）在圆O上，
∴x2+(2y)2=4，即(x2)/(4)+y2=1，
∴曲线C的参数方程是

x=2cosθ

y=sinθ

(θ为参数)．
（II）联立

x-2y+2=0

x2+4y2=4

，解得

x=-2

y=0

，或

x=0

y=1

．
得A（-2，0），B（0，1），∴线段AB的中点N的坐标(-1，(1)/(2))，
设直线l的倾斜角为α，则tanα=(1)/(2)，tan2α=(2tanα)/(1-tan2α)=(2×(1)/(2))/(1-(1)/(4))=(4)/(3)，
∴直线m的方程为：y=(4)/(3)（x+1）+(1)/(2)，即8x-6y+11=0，
∴直线m的极坐标方程为：8ρcosθ-6ρsinθ+