在（根号x+2)^(2n+1)的展开式中,X的幂指数是整数的各项系数之和是

Question

在（根号x +2)^(2 n+1)的展开式中,X的幂指数是整数的各项系数之和是

Answer 1

题中“x的幂指数是整数”的整数包括0,即展开式中的常数项的值.(√x+2)^(2n+1)展开式的第k+1项是(2n+1)!/[(2n+1-k)!·k!]·(√x)^(2n+1-k)·2^k所以x的幂指数是整数的项就是偶数项分别令√x=1和√x=-1（假设√x=-1存在,其实就是x=i,i就是虚数单位）,然后两式相加,则展开式中的奇数项正好相消,而两个展开式中的偶数项均对应相等且x的幂函数值都变成了1,所以所求是系数之和即：[3^(2n+1)+1]/2