我们把形如y=f(x)^φ(x)的函数称为幂指函数,幂指函数在求导时,可以利用对数,在函数解析式两边求对数得lny=ln[f(x)^φ(x)]=φ（x）lnf（x）两边对x求导得y＇/y=φ＇(x)lnf(x)+φ(x)f＇(x)/f(x),于是y＇=f(x)^φ

Question

我们把形如y=f(x)^φ(x)的函数称为幂指函数,幂指函数在求导时,可以利用对数,在函数解析式两边求对数得lny=ln[f(x)^φ(x)]=φ（x）lnf（x）两边对x求导得y＇/y=φ＇(x)lnf(x)+φ(x)f＇(x)/f(x),于是y＇=f(x)^φ(x)[φ＇(x)lnf(x))+φ(x)f＇(x)/f(x)],求y=x^x(x＞0)在（1,1）处的切线方程.

Answer 1

根据题中定义 f(x)=x φ(x)=x 代入y＇=f(x)^φ(x)[φ＇(x)lnf(x))+φ(x)f＇(x)/f(x)]得：
y'=x^2(1*lnx+x*1/x)=x²(lnx+1)
在x=1处的导数即x=1得切线的斜率k=1²(ln1+1)=1
∴切线方程为：y-1=1(x-1) 即：x-y=0