已知关于x的方程x2−(m−2)x−m24＝0（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|=|x1|+2，求m的值及相应的x1、x2．

Question

已知关于x的方程x2−(m−2)x−(m2)/(4)＝0
（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x₁，x₂满足|x₂|=|x₁|+2，求m的值及相应的x₁、x₂．

Answer 1

（1）∵a=1，b=-（m-2），c=−(m2)/(4)，
∴△=b²-4ac=[-（m-2）²]-4×1×（−(m2)/(4)）
=2m²-4m+4=2（m-1）²+2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵a=1，b=-（m-2），c=-(m2)/(4)，
∴x₁+x₂=m-2，
∵方程总有两个的实数根
∴x₁•x₂=-(m2)/(4)≤0，
∴x₁与x₂异号或有一个为0，由|x₂|=|x₁|+2，|x₂|-|x₁|=2，
①当x₁≥0，x₂＜0时，-x₂-x₁=2，即-（m-2）=2，解得m=0，
此时，方程为x²+2x=0，解得x₁=0，x₂=-2；
②当x₁≤0，x₂＞0时，x₂+x₁=m-2=2，解得m=4，
当m=4时，x²-2x-4=0，
∴x₁=1-√(5)，x₂=1+√(5)．