已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，求(2x－)2n的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．

Question

已知( ＋x ² ) ²ⁿ 的展开式的二项式系数和比(3x－1) ⁿ 的展开式的二项式系数和大992，求(2x－ ) ²ⁿ 的展开式中：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项．

Answer 1

已知( ＋x ² ) ²ⁿ 的展开式的二项式系数和比(3x－1) ⁿ 的展开式的二项式系数和大992，求(2x－ ) ²ⁿ 的展开式中：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项．

（1）第6项   （2）第4项

由题意知，2 ²ⁿ －2 ⁿ ＝992，
即(2 ⁿ －32)(2 ⁿ ＋31)＝0.
∴2 ⁿ ＝32，解得n＝5.
(1)由二项式系数的性质知，(2x－ ) ¹⁰ 的展开式中第6项的二项式系数最大．
即T ₆ ＝ ·(2x) ⁵ ·(－ ) ⁵ ＝－8064.
即二项式系数最大的项为第6项为－8064.
(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大．
∵T _{r ＋1} ＝ ·(2x) ^{10 －r} ·(－ ) ^r
＝(－1) ^r ·2 ^{10 －r} ·x ^{10 －2r} ，
∴ ，得  
即
解得 ≤r≤ .
∵r∈Z，∴r＝3.
故系数的绝对值最大的项是第4项，
T ₄ ＝－ ·2 ⁷ ·x ⁴ ＝－15360x ⁴ .