已知（1+mx）n（m是正实数）的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112．（1）求m，n的值；（2）求展开式中奇数项的二项式系数之和；（3）若（x+m）n展开式中系数最大项只

Question

已知（1+m√(x)）ⁿ（m是正实数）的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112．
（1）求m，n的值；
（2）求展开式中奇数项的二项式系数之和；
（3）若（x+m）ⁿ展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况．

Answer 1

（1）由题意可得 2ⁿ=256，解得n=8．故（1+m√(x)）⁸（m是正实数）的展开式含x项的系数为 

C

2 8

•m²=112，
解得m=2，或m=-2（舍去）．
故m，n的值分别为2，8．
（2）展开式中奇数项的二项式系数之和为

C

1 8

+

C

3 8

+

C

5 8

+

C

7 8

=128．
（3）易知m＞0，设第r+1项系数最大．-
则

C

r 8

mr≥

C

r−1 8

mr−1

C

r 8

mr≥

C

r+1 8

mr+1.

，化简可得(8m−1)/(m+1)≤r≤(9m)/(m+1)．
由于只有第6项和第7项系数最大，所以

4＜(8m−1)/(m+1)≤5

6≤(9m)/(m+1)＜7.

，即

(5)/(4)＜m≤2

2≤m＜(7)/(2).

，
所以m只能等于2．