已知（12+2x）n．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的

Question

已知（(1)/(2)+2x）ⁿ．
（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

Answer 1

（1）∵C_n⁴+C_n⁶=2C_n⁵，
∴n²-21n+98=0，
∴n=7或n=14．
当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T₄和T₅，
∴T₄的系数=C₇³（(1)/(2)）⁴2³=(35)/(2)，
T₅的系数=C₇⁴（(1)/(2)）³2⁴=70．
当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T₈．
∴T₈的系数=C₁₄⁷（(1)/(2)）⁷2⁷=3432．
（2）由C_n⁰+C_n¹+C_n²=79，可得n=12，设T_k+1项的系数最大．
∵（(1)/(2)+2x）¹²=（(1)/(2)）¹²（1+4x）¹²，
∴

C

k 12

4k≥

C

k−1 12

4k−1

C

k 12

4k≥

C

k+1 12

4k+1

∴9.4≤k≤10.4，∴k=10，
∴展开式中系数最大的项为T₁₁．
T₁₁=（(1)/(2)）¹²C₁₂¹⁰4¹⁰x¹⁰=16896x¹⁰．