已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.

Question

已知f(x)＝( ＋3x ² ) ⁿ 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992 .

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式中系数最大的项.

Answer 1

(1)令x＝1，则二项式各项系数和为 f(1)＝(1＋3)n＝4n， 展开式中各项的二项式系数之和为2n. 由题意知4n－2n＝992. ∴(2n)2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍)或2n＝32，∴n＝5. 由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们是 T3＝＝90x6， T4＝＝270. (2)展开式通项为Tr＋1＝3r·  . 假设Tr＋1项系数最大，则有 ∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4. ∴展开式中系数最大的项为T5＝＝.